مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية و مبادئ في الحسابيات
القدرات المنتظرة
*- توظيف الزوجية وتفكيك عدد إلى جداء عوامل أولية في حل بعض المسائل البسيطة
حول الأعداد الصحيحة الطبيعية.
مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية ( I
-1 مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية
نشاط
من بين الأعداد التالية حدد تلك التي تمثل أعدادا صحيحة طبيعية
5 ، 4+16 ، 3 ، 5
2
15 ، 12 – 23 ،
3
2,15 ، 25 ،
تعريف
7 ..............تسمى أعدادا صحيحة طبيعية و تكون ، 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1 ، الأعداد 0
􀁠 مجموعة تسمى مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية نرمز لها ب
􀁠 = { نكتب {→ ............ 0;1;2;3;4;5
مصطلحات و ترميز
*- العدد 0 يسمى العدد الصحيح الطبيعي الغير المنعدم
􀁠 *- مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية الغير المنعدمة نرمز لها بالرمز *
􀁠* ={1;2;3;4;5............ →}
تمرين
أتمم بأحد الرمزين ∋ أو ∌
27 ..... ; 2.....* ; 0....* ; 5.... ; 3..... * ; 24 .....
3 2
􀁠 􀁠 􀁠 − 􀁠 􀁠 􀁠
-2 الأعداد الزوجية – الأعداد الفردية
أنشطة
-1 أعط آل الأعداد الزوجية المحصورة بين 41 و 65
، I و مجموعة الأعداد الفردية ب P -2 لنرمز لمجموعة الأعداد الزوجية ب
أتمم بأحد الرمزين ∋ أو ∌
2 3....P; 4×17....P; 4×17....I; 0....I ; 0...P ; 5×13...I
عددين صحيحين طبيعيين فرديين d و c عددين صحيحين طبيعيين زوجيين و b و a -3 ليكن
حدد زوجية الأعداد التالية(هل الأعداد زوجية أم فردية ) مع تعليل الجواب
a+c;c+d;a+b
تعريف
عدد زوجي إذا وفقط آان يوجد عدد صحيح طبيعي a نقول إن العدد الصحيح الطبيعي
a= 2k حيث k
k عدد فردي إذا وفقط آان يوجد عدد صحيح طبيعي a نقول إن العدد الصحيح الطبيعي
a=2k+ حيث 1
أمثلة
8 ........ أعداد زوجية ، 6 ، 4 ، 2 ، الأعداد 0
9 ........ أعداد فردية ، 7 ، 5 ، 3 ، الأعداد 1
ملاحظات
*- آل عدد صحيح طبيعي هو إما عدد زوجي أو عدد فردي
*- مجموع عددين زوجيين هو عدد زوجي
مجموع عددين فرديين هو عدد زوجي
مجموع عدد زوجي و عدد فردي هو عدد فردي
تمرين
عددا صحيحا طبيعيا n -1 ليكن
4n2 +4n+ و 1 n+(n+1)+(n+ و (2 n(n+ أدرس زوجية آل من ( 1
m􀀻n عددين صحيحين طبيعيين حيث m و n -2 ليكن
http://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed
لهما نفس الزوجية m−n و m+n بين أن
الحل
عددان صحيحان طبيعيان متتاليان ومنه أحدهما زوجي و الآخر فردي n + و 1 n * -1
زوجي n(n+ و التالي جداؤهما زوجي إذن ( 1
n + هي زوجية 1 n+(n+1)+(n+ و التالي زوجية (2 n+ (n+1)+(n+2)=3(n+ * لدينا (1
فرديا n+ (n+1)+(n+ زوجيا فان (2 n إذا آان
زوجيا n+ (n+1)+(n+ فرديا فان (2 n إذا آان
4 زوجي n2 +4n+ 2) فان 1 n2+2n)∈􀁠 4 و حيث أن n2+4n+1=2(2n2+2n)+ * لدينا 1
m􀀻n عددان صحيحان طبيعيان حيث m و n -2
لهما نفس الزوجية m−n و m+n نبين أن
يمكن أن يكون زوجيا أو فرديا (m−n) العدد
2 لطرفي المتفاوتة n بإضافة m−n= 2k حيث 􀁠 من k زوجيا فانه يوجد (m−n) * إذا آان
زوجي m+n فان k+n∈􀁠 وحيث أن m+n=2k+2n=2(k+n) نحصل على
2 لطرفي المتفاوتة n بإضافة m−n=2k+ حيث 1 􀁠 من k فرديا فانه يوجد (m−n) * إذا آان
فرديا m+n فان k+n∈􀁠 وحيث أن m+n=2k+2n+1=2(k+n)+ نحصل على 1
لهما نفس الزوجية m−n و m+n إذن
مضاعفات عدد – قواسم عدد – (II
مضاعفات عدد (A
-1 أنشطة
نشاط 1
في المكان المناسب × -1 ضع الرمز
2210 211 999 121 33 75 50 24
مضاعف 2
مضاعف 3
مضاعف 5
مضاعف 11
-2 استخرج من بين أعداد السطر الأول المضاعفات المشترك للعددين 2 و 3 ثم 3 و 11
نشاط 2
حدد المضاعفات العشرة الأولى للعدد 6 ثم للعدد 9
استنتج المضاعفات المشترآة من بين هذه المضاعفات
ماذا تلاحظ
( اصغر مضاعف مشترك غير منعدم للعددين 6 و 9 هو 18 . المضاعفات المشترآة للعددين
( 6 و 9 هي مضاعفات العدد 18
نشاط 2
عددا صحيحا طبيعيا فرديا n ليكن
n=7 ; n=5 ; n =3 ; n = مضاعف للعدد 8 في الحالات التالية 1 n2 − أ- تأآد 1
n مضاعف للعدد 8 آيفما آان العدد الصحيح الطبيعي الفردي n2 − ب- بين أن 1
الحل
n=2k+ حيث 1 􀁠 من k عدد صحيح طبيعي فردي أي يوجد n ب- ليكن
n2 −1=4k(k+ ومنه ( 1 n2 −1=(n−1)(n+ لدينا (1
عدد زوجي (لأنه جداء عددين متتاليين) k(k+ وحيث أن ( 1
n2 −1=8k' و بالتالي k(k+1) =2k' حيث 􀁠 من k ' فانه يوجد
مضاعف للعدد 8 n2 − إذن 1
http://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed
-2 تعريف
غير منعدم b عددين صحيحين طبيعيين حيث b و a ليكن
a=bk حيث k إذا وفقط إذا وجد عدد صحيح طبيعي b مضاعف للعدد a نقول إن العدد
أمثلة
1775 مضاعفات للعدد 5 ، 25 ، 20، 15 ، 10 ، 5 ، الأعداد 0
22 ليس مضاعف للعدد 4
b∈ 􀁠* -3 * ليكن
k ∈ 􀁠 حيث kb هي الأعداد b مضاعفات
0×k =0 *
خاصية
* لكل عدد صحيح طبيعي غير منعدم ما لنهاية من المضاعفات
* للعدد 0 مضاعف وحيد هو 0
-4 المضاعف المشترك الأصغر
تعريف
عددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين b و a ليكن
هو أصغر مضاعف مشترك غير منعدم للعددين b و a المضاعف المشترك الأصغر للعددين
PPCM (a;b) نرمز له بالرمز b و a
PPCM (6;10) = 30 ، PPCM (4;9) = أمثلة 36
قواسم عدد (B
-1 نشاط
حدد قواسم 90 ثم قواسم 126 ثم استنتج أآبر قاسم مشترك للعددين 90 و 126
-2 تعريف
غير منعدم b عددين صحيحين طبيعيين حيث b و a ليكن
a=bk حيث k إذا وفقط إذا وجد عدد صحيح طبيعي a قاسم للعدد b نقول إن العدد
b مضاعف للعدد a إذا وفقط إذا العدد a قاسم للعدد b ملاحظة : العدد
b قابل للقسمة على a نقول أيضا العدد
• آل عدد صحيح طبيعي غير منعدم مخالفا ل 1 له على الاقل قاسمان 1 و نفسه
• للعدد 1 قاسم وحيد هو نفسه
• جميع الأعداد الصحيحة الطبيعية الغير المنعدمة تقسم 0
-3 القاسم المشترك الأآبر لعددين
تعريف
عددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين b و a ليكن
هو اآبر قاسم مشترك لهما b و a القاسم المشترك الأآبر للعددين
PGCD(a;b) نرمز له بالرمز
PGCD(4;9) = 1 ، PGCD(126;90) = مثال 18
الأعداد الأولية (III
-1 تعريف
نسمي عددا أوليا آل عدد صحيح طبيعي له قاسمان بالضبط
( أمثلة (حدد الأعداد الأولية الأصغر من 40
37 ، 31 ، 29 ، 13 ، 19 ، 17 ، 13 ، 11 ، 7 ، 3 ، الأعداد الأولية الأصغر من 40 هي 2
-2 التفكيك إلى جداء عوامل أولية لعدد غير أولي
مبرهنة (مقبولة)
هو عدد أولي أو جداء عوامل أولية (n ≥ 2) n آل عدد صحيح طبيعي
أمثلة
41 عدد أولي
72 = 8×9 = 23× 72 عدد غير أولي و 32
http://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed
تعريف
عددا صحيحا طبيعيا غير أولي a ليكن
a على شكل جداء عوامله أولية تسمى " التفكيك إلى جداء عوامل أولية" للعدد a آتابة
أمثلة
1344 إلى جداء عوامل أولية ، 319 ، فكك الأعداد 24
1344 =4×4×4×21=26 ×3×7 319 = 11× 24 و 29 = 8×3 = 23 ×3
تقنية للتفكيك ( نقبلها)
نأخذ اصغر عدد a لتفكيك عدد صحيح طبيعي غير منعدم
خارج b و ننجز القسمة فنحصل على عدد a أولي يقسم
فنحصل على خارج b القسمة فنأخذ اصغر عدد أولي يقسم
القسمة .......و نتابع على هذا المنوال حتى نحصل على
. خارج يساوي 1
سيكون هو جداء جميع الأعداد الأولية التي a العدد
قسمنا بها
مثال:
1344 2
672 2
336 2
168 2
84 2
42 2
21 3
7 7
1
1344=26×3× إذن 7
-3 خاصيات ( نقبلها)
خاصية 1
المضاعف المشترك الأصغر لعددين هو جداء العوامل الأولية المشترآة و الغير المشترآة
بين تفكيكي هذين العددين إلى جداء عوامل أولية. المرفوعة إلى أآبر أس.
خاصية 1
القاسم المشترك الأآبر لعددين هو جداء العوامل الأولية المشترآة بين تفكيكي هذين
العددين إلى جداء عوامل أولية. المرفوعة إلى أصغر أس.
PPCM (a;a)= a PPCM (a;1) = a ، PGCD(a;a) = a ، PGCD(a;1) = ملاحظات 1
تمرين:
PPCM(35;121) ، PGCD(35;121) ، PPCM (84;216) ، PGCD( حدد ( 84;216
إضافات
a≥b حيث b و a * طريقة لتحديد المضاعف المشترك الأصغر للعددين
هل هو مضاعف a ثم أتأآد بالتتابع ابتداء من أصغر مضاعف غير منعدم للعدد a أحدد مضاعفات
فإذا آان الجواب لا ، أتابع البحث إن آان نعم ، أتوقف و العدد الذي حصلت فيه على b للعدد
.b و a هذا الجواب هو المضاعف المشترك الأصغر للعددين
a≥b حيث b و a * طريقة لتحديد القاسم المشترك الأآبر للعددين
هل هو قاسم للعدد b ثم أتأآد بالتتابع تناقصيا ابتداء من أآبر قاسم للعدد b أحدد قواسم العدد
فإذا آان الجواب لا ، أتابع البحث ان آان نعم ، أتوقف و العدد الذي حصلت فيه على هذا a
.b و a الجواب هو القاسم المشترك الأآبر للعددين
أوليا أم لا a * طريقة لتحديد ما إذا آان العدد
.p2 ≤a حيث p نحدد أولا جميع الأعداد الأولية
غير أولي a يقبل القسمة على أحد هذه الأعداد فان a إذا آان
أولي a لا يقبل القسمة على أي عدد من هذه الأعداد فان a إذا آان